ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Ивановский государственный энергетический университет

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии

Доктор техн. наук, профес= сор А.Н. Голубев

Введение

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническ= им курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных частей: теории цепей (два семестра) и теории электромагнитного поля (один семестр). Данный лекционный курс посвящен первой из указанных частей = ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей. Содержание к= урса и последовательность изложения материала в нем в целом соответствуют програ= мме дисциплины ТОЭ для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов.

Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах, = их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании научной базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин.

Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенны= х в основу создания и функционирования различных электротехнических устройств, а также в привитии практических навыков использования методов анализа и расче= та электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач.

В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа= и расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и рас= чета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на практике.

Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой д= ля освоения таких дисциплин, как: математические основы теории автоматического управления, теория автоматического управления, электропривод, промышленная электроника, электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы= в электрических системах, электрические измерения и т. д.

При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики.

Курс рассчитан на 86 лекционных часов и включает в себя следующие основн= ые разделы:

-теория линейных цепей синусоидального и, как частный случай, постоянного тока;

-основы теории пассивных четырехполюсников и фильтров;

-трехфазные электрические цепи;

-линейные цепи при периодических несинусоидальных токах;

-переходные процессы в линейных электрических цепях;

-нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных и переменных т= оках и магнитных потоках в стационарных режимах;

-переходные процессы в нелинейных цепях;

-установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметр= ами.

При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники, сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ ИГЭ= У.

Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине:

Бессонов Л.А. Т= еоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электро= технических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Теоретические о= сновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанов= а. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. –240с.
Теоретические о= сновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанов= а. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб. для электроте= хн. и радиотехн. спец. вузов. –3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1= 990. –400 с.
Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1= 986. –352 с.
Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. ш= к., 1972. -448 с.

Теоретические о= сновы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионк= ина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. ш= к., 1976. –544 с.

Теоретические о= сновы электротехники. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –383 с.

Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.
Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.
Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Бессонова Л.= А. . –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1980. –472 с.

Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/ Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 1999. -360 с.=

Голубев А.Н. Ме= тоды расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. –Иван= ово, 2002. -212 с.

Лекция N 1

Элементы электрических цепей

Электромагнитные процессы, протек= ающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической энергии и (или) информации, рассматривают как = электрическую цепь. Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи. Основ= ными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие электрическую энерг= ию, называются генераторами или источниками электрической энергии= , а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электричес= кой энергии.

У каждого элемента цепи можно выд= елить определенное число зажимов (полюсов), с помощью которых он соединяет= ся с другими элементами. Различают двух –и многополюсные элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформатор= ы, усилители и т.д.

Все элементы электрической цепи у= словно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются лин= ейными, в противном случае они относятся к классу нелинейных. Строго говоря,= все элементы являются нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое описание и анализ процессов, определяет= ся границами изменения характеризующих их переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента.

Если параметры элемента не являют= ся функциями пространственных координат, определяющих его геометрические разме= ры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Если элем= ент описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то о= н относится к классу элементов с распределенными параметрами. Классическим приме= ром последних является линия передачи электроэнергии (длинная линия).

Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного = элемента относит ее к классу нелинейных.

Рассмотрим пассивные элементы цеп= и, их основные характеристики и параметры.

1. Резистивный элемент (резистор)

Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резист= ор – это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Послед= нее определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным сопротивлением r (Ом´ м) или обратной величиной – уде= льной проводимостью (См/м).

В простейшем случае проводника длиной и сечением S его сопротивление определяется выражением

.

В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, разделяющей два электрода.

Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость (или ), называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимо= сть представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением <= /p>

или

,

где - проводимость. При этом R=3Dconst.

Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как б= удет показано в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое и дифференциальное сопротивления.

2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности)

Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис.= 2,а. Катушка – это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расч= ета индуктивности катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле.

Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающе= му по виткам катушки,

.

В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки, на число этих витков , где .

Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. 2,б); при этом

.

Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую на рис. 2,б) определяет наличие у нее сердечника из ферромагнитно= го материала, для которого зависимость магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явл= ения магнитного гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями.

3. Емкостный элемент (конденсатор)

Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а.

Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для рас= чета последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u м= ежду ними

и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у н= их относительная диэлектрическая проницаемость =3Dconst. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координа= т, (см. рис. 3,б) и

.

У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемо= сть является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рис. 3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный конденсатор характеризуется статической и дифференциальной емкостями.

Схемы замещения источников электрической энергии

Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней характеристикой источника. Далее в эт= ом разделе для упрощения анализа и математического описания будут рассматриват= ься источники постоянного напряжения (тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы в полной мере распространяютс= я на источники переменного тока. ВАХ источника может быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь вольтме= тр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – потребляемы= й от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного нагрузочного резистора (реостата) R_Н.

В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б).= Она имеет две характерные точки, которые соответствуют:

а – режиму холостого хода ;

б – режиму короткого замыкания .

Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого х= ода) является недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими = номинальному режиму (режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия = его эксплуатации в отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную= ВАХ на рабочем участке m-n (см. рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения напряжения и тока. Следует отметить, что мно= гие источники (гальванические элементы, аккумуляторы) имеют линейные ВАХ.

Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением

,

(1)

где - напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом ключе К в схеме на рис. 4,а); - внутреннее сопротивление источника.

Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента не зависит от тока источника, следовательно, ему соответствует ВА= Х на рис. 5,б. На основании (1) у такого источника . Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах источника противоположны.

Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы.

Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим левую и правую части соотношения (1) на . В результате получим

или

,

(2)

где ; - внутренняя проводимость источника.

Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а.

На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, е= му соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у такого источника , т.е. его внутреннее сопротивление .

Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для последовательной схемы замещения мощность равна н= улю, а для параллельной – нет.

Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН = от источника потребляется максимальная мощность

,

(3)

Условие такого режима

,

(4)

В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальн= ые источники ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности.

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с.

Каплянский А.Е.= и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. ш= к., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат?

Какой режим (холостой = ход или короткое замыкание) является аварийным для источника тока?

В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем замеще= ния источника?

Определить индуктивнос= ть L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней I=3D20А потокосцепление y =3D2 Вб. <= /li>

Ответ: L=3D0,1 Гн; WМ=3D40 Дж.

Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при напряжении на его обкладках U=3D400 В заряд конденсатора q=3D0,2´ 10-3 Кл.

Ответ: С=3D0,5 мкФ; WЭ=3D0,04 Дж.

У генератора постоянно= го тока при токе в нагрузке I1=3D50Анапряжение на зажимах U1=3D210 В,а пр= итоке, равном I2=3D100А, оно снижается до U2=3D190 В.

Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого замыкания. =

Ответ:

Вывести соотношения (3= ) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую нагрузке, по услови= ям предыдущей задачи.

Ответ:

Лекция N 2

Топология электрической цепи

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых о= на состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические с= хемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Рис.1

Рис.2

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.<= /p>
Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком лин= ии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнит= ь, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:
1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви= 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непреры= вно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно опреде= лить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если меж= ду любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры= на рис. 4.

Рис.4

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узло= в и n ветвей, то число ветвей любого дере= ва , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф = на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдель= ным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S₁ иS₂<= /i> . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-= 5 и 6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;

главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Топологические матрицы=

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так= как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию = цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициент= ов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=3D4 и число ветвей n=3D6. Тогда = запишем матрицу А_Н= , принимая, что элемент матрицы (i –номер строки; = j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, е= сли ориентирована к нему, и 0, е= сли ветвь j не соединена с узлом= i . Сориентировав ветви графа на рис.= 3, получим



.Данная матрица А_Н записана для всех четырех уз= лов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы А_Н всегда равна нулю, так как каждый столб= ец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.
Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой мат= рице А (редуцированной мат= рице), которая может быть получена из матрицы А_Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

&nb= sp;

.Число строк матрицы А= равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирх= гофа.

Первый закон Кирхгофа<= /p>
Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

(1)

где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS= замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S₂графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

.

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа = для узлов, что математически можно записать, как:

(2)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.<= /p>
При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются = для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое= ) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информац= ии.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

I=3D

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

АI=3D= O

(3)

– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не А_Н, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываю= тся для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициент= ов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матриц= ы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент b_ij матрицы В равен 1, ес= ли ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением об= хода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называю= т матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разно= сть потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

(4)

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречае= тся два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна н= улю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

(5)

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений = на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы о= дной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образов= ать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнен= ий, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в = них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

U=3D

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

BU = =3D 0.

(6)

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

,

откуда, например, для первого контура получаем

,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

=3D

причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

U=3DA= ^Т

(7)

где A^Т- транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А= =3DА_ДА_С , где А_Д – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, А_С- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В=3D (-А^Т_СА^-1Т_Д1).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q= равно числу независимых сечений.
Элемент q_ijматрицыQ равен <= i>1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечен= ий для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

В заключение отметим, что для топологических матриц А, = В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

АВ^Т=3D 0;

(8)

<= /o:p>

QВ^Т=3D 0,

(9)

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

Литература

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейн= ых цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , пере= раб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цеп= и.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: В= ысш. шк., 1990. –400с.

3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.

Что такое узловая матри= ца?

Что такое контурная матрица?

Что такое матрица сечен= ий?

Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений:

.

Восстановив граф цепи, составить матрицы гл= авных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.

Ответ:

B=3D

Q=3D

Составить матрицу главн= ых контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2,= 1 и 5

Ответ:

B=3D

Решить задачу 5, исполь= зуя соотношения (8) и (9).

Лекция N 3

Представление синусоидальных величин <= br> с помощью векторов и комплексных чисел

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Э= то было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все м= енее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии= и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможно= сть производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабже= ния.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрически= е и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влия= ние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежут= ок времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

,

  = ;(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герц= ах (Гц):

,

(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01&cedi= l;10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота <= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt;mso-ansi-language:EN-US'>f =3D 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i - мгновенное значение тока ;

u – мгновенное значение напряжения ;

е - мгновенное значение Э= ДС ;

р- мгновенное значение мо= щности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m).

- амплитуда тока;

- амплитуда напряжения;

- амплитуда ЭДС.

Действующее значение перем= енного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

,

(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся= ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальн= ый ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках слож= ной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теор= ии других цепей.

Изображение синусоидальных= ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать п= ри помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде вектор= ов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂₌соответствуют уравнения:

.

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=3D0): и - начальной фазой ().

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называю= т угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е₁= и е<= sub>2угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительно= е) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитываетс= я от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е_1<=
/sub> и е<= sub>2(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющи= еся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построе= нии векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времен= и (t= =3D0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против ч= асовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат вект= оры неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анали= зе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядны= м и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенн= ых значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и .

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, е= сли суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=3D0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической с= умме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения = и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Предс= тавление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получа= емых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической      или

алгебраической     - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексн= ых чисел:

,

(5)

Параметр , соответствующий положению вектора для t=3D0 (или на вращающейся со скоростью= w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положен= ия на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

,

(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексн= ого числа в алгебраической форме:

,

- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фаз= у , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

.

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

где .

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четве= ртом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

,

(7)

а при (третий квадрант)

(8)

или

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательн= ой форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраиче= ской форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удо= бна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

_где;

.

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

.

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

.

(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей перемен= ного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения=

.

Литература

1.            &= nbsp;    Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионки= н, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.            &= nbsp;    Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электричес= кие цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: В= ысш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

1.     Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2.     Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3.     В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4.     Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5.     На рис. 5 , а . Определить .

Ответ: .

Лекция N 4

Элементы цепи синусоидального тока. Векторные
диаграммы и комплексные соотношения для них

1. Резистор

Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 1), то ток i через него будет равен<= /p>

.

(1)

Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то соответствующие им синусои= ды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Из (1) вытекает:

;

.



Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

;

,

- разделим первый из них на второй:

или

.

(2)

Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжени= я и тока (см. рис. 3) совпадают по направлению.

2. Конденсатор

Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 4), то ток i &n= bsp;через него будет равен

.

(3)

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отста= ет по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i<= /span>, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.

Из (3) вытекает:

;

.



Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением <= v:shape id=3D"_x0000_s1032" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'position:absolu= te;left:0; text-align:left;margin-left:9.35pt;margin-top:19.15pt;width:120pt;height:7= 9.5pt; z-index:7;mso-wrap-distance-left:0;mso-wrap-distance-right:0; mso-position-horizontal-relative:text;mso-position-vertical-relative:line' o:allowoverlap=3D"f"> конденсатора. Как и резистивное сопротивление, имеет размерность Ом. Однако в отличие от <= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt;mso-ansi-language:EN-US'>R данный параметр является фу= нкцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 вытекает, что при конденсатор представляет разрыв для тока, а при ₌ .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

;

,

- разделим первый из них на второй:

или

_.

(4)

В последнем соотношении - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение н= а соответствует повороту вектора на угол по часовой стрелке. Следовательно, уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7.

3. Катушка индуктивности

Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выраже= нием . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности мож= но записать

_.

(5)

Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивно= сти опережает по фазе ток на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 9.

Из (5) вытекает:

.

Введенный параметр называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при <= sub> катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам:

;

,

разделим первый из них на второй:

или

_.

(6)

В полученном соотношении - комплексное

сопротивление катушки индуктивности. Умножение на соответствует повороту вектора на угол против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11

. 4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементо= в

Пусть в ветви на рис. 12   . Тогда

где

, причем пределы изменения .

Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение

,

которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Век= торы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение

графически может быть представлено треугольником сопротивлений (с= м. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.

5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов

Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений = ; (2) и (4) для ветви на рис. 15 можно записать

_{.&nb=
sp;

,}

(8)

где

, причем пределы изменения .

На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.

6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов



Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:

            ₌;

, где [См] – активная проводимость;

            =            , где [См] – реактивная проводимость конденсатора.

Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником т= оков, приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме

,

где ;

      - комплексная проводимость;

      .

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен = на рис. 20.

Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать

.

Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из к= урса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединен= ных резисторов.

7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов<= /p>


Для цепи на рис. 21 можно записать

;

           , где [См] – активная   проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.=

Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравне= ние в комплексной форме

,

где ;

      - комплексная проводимость;

      .

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен = на рис. 23.

Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:

.

Литература

1.     Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ион= кин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.     Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электричес= кие цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: В= ысш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

1.     В чем сущность реактивных сопротивлений?

2.     Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока?

3.     Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях постоянного тока?

4.     В ветви на рис. 12 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока <= v:shape id=3D"_x0000_i1293" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:62.25pt;h= eight:18pt'> .
Ответ: .

5.     В ветви на рис. 15 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока <= v:shape id=3D"_x0000_i1296" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:62.25pt;h= eight:18pt'> .
Ответ: .

6.     В цепи на рис. 18 . Определить комплексные проводимость и сопротивление цепи для .
Ответ: ;    .

7.     Протекающий через катушку индуктивности <= v:shape id=3D"_x0000_i1302" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:56.25pt;h= eight:18pt'> ток изменяется по закону А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке.
Ответ: .

Лекция N 5

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС

Возьмем два участка цепи a-<= /span>b&nb= sp; и c-<= /span>d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

               ₌

Объединяя оба случая, получим



(1)

или для постоянного тока

.

(2)

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цеп= и и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указа= нные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, есл= и их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если = их направление противоположно направлению тока.

Основы символического мето= да расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не тол= ько путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжен= ия и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют соверше= нно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Первый закон Кирх= гофа в комплексной форме:

.

(3)

2.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Второй закон Кирх= гофа в комплексной форме:

(4)

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

.

(5)

3.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§         = первый закон Кирхгофа:

.;

(6)

§         = второй закон Кирхгофа

.

(7)

Пример.

Дано:

Определить:=

1) полное комплексное сопротивление цепи ;

2) токи

Рис. 2=

Решение:

1.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     .

2.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     .

3.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>

       &= nbsp;           &nbs= p;            &= nbsp;            .

4.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Принимая начальну= ю фазу напряжения за нуль, запишем:

.

Тогда

.

5.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     .

7.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Аналогичный резул= ьтат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета=

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составлен= ными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систе= му с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнен= ий, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальн= ыми методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов<= /p>
Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму за= кону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих= по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветв= ей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну вет= вь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.=

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

           ;

           ;;

           ; .

Обойдя контур ae= da, по второму закону Кирхгофа имеем

.

Поскольку ,

то

.

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно конту= рных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четверт= ого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:<= /p>

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

- сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;
- сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем    ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в проти= вном случае ставится знак “-”;

если i-й и = k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих= в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлен= ием контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный то= к, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов<= /b>

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью зако= на Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой прим= ем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определе= нных выше:

.

Сгруппировав соответствующие члены, получим= :

.

Аналогично можно записать для узла b:

.

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным пу= тем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. &nb= sp;    В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал= i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и = со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму пр= оводимостей ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравне= ний, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагона= ли.

2. &nb= sp;    В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой= ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к = i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знак= ом “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу вет= вях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узло= вой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного= из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, как= ой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных то= ков, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

Литература

1.  =    Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.<= span style=3D'font-size:7.0pt'>     Бессонов Л.А. = Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вуз= ов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с

.

Контрольные вопросы и зада= чи

1. &nb= sp;    В ветви на рис. 1   . Определить ток .

Ответ: .

2. &nb= sp;    В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3. &nb= sp;    В чем состоит сущность метода контурных токов?

4. &nb= sp;    В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5.      = В цепи на рис. 5 ; ; ;     . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

Ответ: ; ; .

6.      = В цепи на рис. 6         . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Ответ: ; ; ; ; ; ; .

Лекция N 6

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственн= о по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать проце= сс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить в= вод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных сх= ем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

.

(1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток = как сумму токов k-й ветви и источника тока, т.= е.:

.

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

_.

(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, = все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй зак= он Кирхгофа, согласно которому

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1413" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:47.25pt=
;height:18pt'>},

(5)

то

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1414" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:98.25pt=
;height:20.25pt'>},

(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.=

Метод контурных токов в ма= тричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуро= в В, записываемой д= ля главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связ= и, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для конт= уров, т.е. числу ветвей связи c=3Dn-m+1= . Выражение (6) запишем следующим образом:

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1415" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:108.75p=
t;height:20.25pt'>}.

(7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут б= ыть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случ= ае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образо= м на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записа= но в виде матричного соотношения

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1416" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:57.75pt=
;height:23.25pt'>},

(8)

где - столбцовая матрица контурных токов; - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1419" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:135pt;h=
eight:23.25pt'>}

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в = матричной форме. Если обозначить

,

(10)

<= /o:p>

_{<=
v:shape
id=3D"_x0000_i1421" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:99.75pt=
;height:21pt'>}.

(11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

,

(12)

где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

_,

(13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m= =3D4) и шесть обобщенных ветвей (<= /i>n=3D6). Число независимых контуров, ра= вное числу ветвей связи,

c=3Dn-<= /span>m+1=3D6-4+1=3D3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. = 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контур= ов, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z<= /u>

Матрица контурных сопротивлений

Z_k=3DBZB^T

.

Матрицы ЭДС и токов источников

₌

<= /o:p>

₌

Тогда матрица контурных ЭДС

₌

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны те= м, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены кото= рой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z и Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,

(15)

получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряже= ния на зажимах ветвей:

.

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

.

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

<= /o:p>

,

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узло= вых потенциалов:

(22)

где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3D3) и 5 ветвей (n=3D5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А



Диагональная матрица проводимостей ветвей:

= Y<= /u>

,

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

..Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Т= еоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

В чем заключаются преимущества использования матричных методов расч= ета цепей?

Запишите выражения мат= рицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.

Запишите выражения мат= рицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.

Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3<= /i> и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

.

Лекция N 7

Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная,
активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока

Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энерг= ии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в едини= цу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощно= стью р. Сказанному соответствует математическое определение:

.

(1)

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет = вид:

.

(2)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

.

(3)

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источни= ку питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью .

Принимая во внимание, что , из (3) получим:

.

(4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=3D0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активн= ых сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элеме= нты.

1. Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощн= ость

2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать .

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

3. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=3D0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катуш= ки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В = силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, = а их сопротивления Х_L и Х_С , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

(5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, так как .

.

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в кату= шке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

.

Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

.

(6)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

.

(7)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности<= /b>. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,=

.

(8)

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:

,

(9)

где - комплекс, сопряженный с комплексом .

.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

.

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В эт= ой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигат= ели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка нос= ит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе= к напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, поте= ри) уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для повышения .

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения ?

Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки :

;

(10)

<= /o:p>

;

(11)

<= /o:p>

.

(12)

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

,

но , откуда необходимая для повышения емкость:

.

(13)

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энерг= ии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскол= ьку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(15)

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:=

,

(16)

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

или

.

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Что такое активная мощность?

Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?

Что такое полная мощность?

Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?

Критерием чего служит баланс мощностей?

К источнику с напряжен= ием подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой= . Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=3D250 Вт; Q=3D433 ВАр; S=3D500 ВА.=

В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток = I=3D2 A. Напряжение на зажимах ветви U=3D100 B, а потребляемая мощность Р=3D= 120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=3D30 Ом; XL=3D40 Ом.

Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, = Р=3D90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=3D5 A, а в ветви с резистором = I2=3D4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи.

Ответ: R=3D10 Ом; XС=3D7,5 Ом.

Лекция N 8

Резонансы в цепях синусоидального тока

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индукти= вные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе ток= а на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последов= ательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рис.1 имеет место

где

;

(1)

<= /o:p>

.

(2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

.

(3)

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=3D0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к авари= йным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсат= ора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкос= тных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений = L_Э и C_Э.

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться пут= ем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансн= ой частоты можно записать

.

(4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=3Dconst.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность = Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

,

(5)

- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

,

(6)

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

.

(7)

Резонанс в цепи с параллел= ьно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

,

где

;

(8)

<= /o:p>

.

(9)

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

- случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

.

(10)

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе = цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо толь= ко для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или= , в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исход= ить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цеп= и.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой ча= сти входного сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответств= ует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимости следует представить в виде отношения двух полиномов по степ= еням , т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения - значения частот, при которых возникают резонансы токов. О= бщее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цеп= и (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выраже= ние входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения - частоту , соответствующую резонансу токов.

     = ;            &n= bsp;    Литература

Основы теории = цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?

Что такое резонанс то= ков, чем он характеризуется?

В чем физическая сущн= ость резонансных режимов?

На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?

В цепи на рис. 1 R=3D1 Ом; L=3D10 мГн; С=3D10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

Ответ: .

Какие условия необход= имы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение ?

Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3   заме= нен на резистор R3.

Ответ: .

Лекция N 9

Векторные и топографические диаграммы

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭД= С, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы иск= омых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет лег= ко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединени= ем элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (= см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветв= ях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы= . Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографичес= кой диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элемен= те примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведе= н в лекции № 5 (см. рис. 1).

Параметры схемы:

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжен= ий (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскол= ьку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производит= ь по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой= точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если= не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек:

или

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность потенциалов точек е и а равно напряже= нию U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирх= гофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. След= ует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой св= язи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. = Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат= – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваем= ого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3= .

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой пр= инят за нуль:

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-= 20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электричес= ких цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участ= ков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, е= сли преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии,= то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1, Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

(1)

или

.

(2)

При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадае= т с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2 Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

,

где    .

Тогда

,

где

;

(3)

,

(4)

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”.

3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нель= зя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В так= их случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

Треугольник

звезда

Звезда

треугольник

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Что представляют собой векторные диаграммы?

Что такое топографичес= кие диаграммы, для чего они служат?

В чем сходство и разли= чие топографической и потенциальной диаграмм?

Какой практический смы= сл преобразований электрических цепей?

В чем заключается прин= цип эквивалентности преобразований?

Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3.

Полагая в цепи на рис.= 8 известными ток и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для = нее.

Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если .

Ответ: .

Определить сопротивлен= ия ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи= на рис. 8.

Ответ: ; ; .

Определить сопротивлен= ия ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, состоящему= из элементов , и .

Ответ: ; ; .

Лекция N 10

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальваниче= ски) разделенные друг от друга.

В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента инду= ктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степе= нь индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи

,

(1)

где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); и -собственные индуктивности этих элементов.

Слеует отметить, что всегда к<1.

Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечни= ком (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при нал= ичии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с= магнитным потоком самоиндукции Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным пото= ком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.

По определению

;

(2)

.

(3)

Если теперь наоборот пропустить ток i₂ по второй катушке, то соответственно получим

;

(4)

.

(5)

При этом

.

(6)

Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, есл= и бы и , то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния <= v:shape id=3D"_x0000_i1698" type=3D"#_x0000_t75" alt=3D"" style=3D'width:60pt;heig= ht:18.75pt'> и . В этой связи

.

Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности и , индуктивно связанные друг с другом, и резистор R.

При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.=

Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке индуцируется ЭДС

,

(7)

а во второй –

.

(8)

Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с Э= ДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во втор= ой катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точ= ке. Различают согласное и встречное включения катушек. При соглас= ном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноиме= нным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показан= ный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них.<= /p>
Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим

;

(9)

,

(10)

где - сопротивление взаимоиндукции (Ом).

Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем

,

откуда

.

Воздушный (линейный) транс= форматор

Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катуш= ек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора.

На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением .

В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке.

По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать

;

.

Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид:

;

(11)

<= /o:p>

_,.

(12)

где и - активные сопротивления обмоток; .

Если уравнения (11) и (12) решить относительно , предварительно подставив в (12) и обозначив ; , то получим

,

(13)

где ; - вносимые активное и реактивное сопротивления.

Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением .

Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами

Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник.= Для данной цепи можно записать

;

.

Обозначим токи и как: ; .

Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответстве= нно можно записать:

     = ; ;

.

Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью:



(14)

<= /o:p>

.

(15)

где .

Из (14) и (15) вытекает, что

;

(16)

<= /o:p>

.

(17)

Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, т.к. . Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индукт= ивно связанные элементы не влияют.

Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна

.

Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид

,

(18)

где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а “-= ” – при встречном.

Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.

В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами сост= авим контурные уравнения для цепи на рис. 5:

Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на ри= с. 6, где цепь на рис. 6,б эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние зна= ки ставятся при согласном включении катушек, а нижние – при встречном.

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Стра= хов. –5-еизд.,перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. = Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Какие элементы называ= ются индуктивно связанными?

Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он изменяется?

Что такое воздушный трансформатор? Почему он называется линейным?

Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения.

Как влияют индуктивно связанные элементы на баланс мощностей?

Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными элементам= и?

Записать уравнения для расчета цепи на рис. 5, используя законы Кирхгофа.

Записать контурные уравнения для цепи на рис. 5, используя эквивалентную замену индуктивн= ых связей.

С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения для цепи на рис. 5.

Рассчитать входное сопротивление на рис. 3, если ; ; ; ; ; .

Ответ: .

Лекция N 11

Особенности составления матричных уравнений при наличии
индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

     = ;        Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией

Как было показано ранее (см. лекцию N 6 ), для схем, не содержащих индуктивно связанные элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все их элементы, за исключением стоящих на гла= вной диагонали, равны нулю.

В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид

Z .

Здесь элементы главной диагонали , ,… - комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной ди= агонали - комплексные сопротивления индуктивной связи i- й и k – й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак “-”).

Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно

Y =3D Z ^–1 .

Зная матрицы и Y , можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице Z целесообразно придать квазидиагональную форму

Z ,

что облегчает ее обращение, поскольку

Y ,

где подматрицы могут быть квадратными диагональными или недиагональными.
В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен на рис. 1,б.

Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей

Z .

В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим

Z^-1₁₁

;

<= /o:p>

Z^-1₂₂

;

<= /o:p>

Z^-1₃₃

.

Таким образом, матрица проводимостей ветвей

Y .

Отметим, что при принятой ориентации ветвей и .

В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а.

Решение

1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,б), выделив в нем дерево, образованное ветвью 3.

Тогда матрица главных контуров имеет вид

В .

2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации<= /p>
Z .

3. Определим матрицу контурных сопротивлений

Z_k=3DBZB^T<=
/sup>

4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС

.

5. Подставив найденные выражения в , окончательно получим

.

Составление матричных соот= ношений при наличии ветвей с идеальными источниками

В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы . Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлен= ием уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. 3.

Здесь идеальный источник тока (см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. Подключение к уз= лам l и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывае= т на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.

Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются= по первому закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений,= а в цепи имеют место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равн= ы . Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлен= ием уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. 4.

Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС . Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом n, источник= а с ЭДС, равной , и направлением действия, указанным на рис. 4,б, позволяет (в си= лу того, что ) трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. = 4,в.

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. = Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

В чем отличие матриц сопротивлений и проводимостей ветвей для цепей с отсутствием и наличием индуктивных связей?

В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей?
Какие особенности име= ют место при составлении матричных соотношений для цепей, содержащих ветв= и с идеальными источниками?

В цепи на рис. 5 ; ; ; ; ; . Приняв, что дерево образовано ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей.

Ответ:

.

Для цепи на рис.5 составить узловые уравнения в матричной форме, на основании которых за= тем определить токи ветвей.

Ответ:

;

.

Лекция N 12

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязате= льно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод конт= урных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

Метод наложения

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и являет= ся особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений= ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными= .

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической ц= епи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

.

(1)

Здесь - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).=

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим

,

(2)

где - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; - алгебраическое дополнение определителя .

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получи= тся выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в оди= н -й контур, т.е. контурный ток будет равен действительному току h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложен= ия следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим= к расчетным схемам на     рис. 1,б…1,г.

В этих цепях

; ; ,

где ; ; .

Таким образом,

.

В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости и в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 ток= и в первой и второй ветвях соответственно равны и , а при переводе в положение 2 - и .

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в п= оложении “1” можно записать

;

(3)



.

(4)

При переводе ключа в положение “2” имеем

;

(5)

<= /o:p>

..

(6)

Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим
;

,

откуда искомые проводимости

;      .

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви,

будет равен току в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в k – й ветви,

.

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источник= ов, вызывает в другой ветви ток (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС .

Перенесение источника ЭДС в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,= б. В этой цепи

_,

(7)

где .

В соответствии с принципом взаимности ток в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (= 7)

.

Линейные соотношения в лин= ейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источни= ков или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут свя= заны между собой соотношением

,

(8)

где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы= .

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС в k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать



(9)

и для тока в n – й ветви –

_.

(10)

Здесь и - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .

Умножив левую и правую части (10) на , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

.

(11)

Обозначив в (11) и , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами = и в схеме с переменным резистором на рис. 5, где ; ; .

Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям .

Выбрав в качестве этих значений и , для первого случая ( ) запишем

.

Таким образом, .

При (режим короткого замыкания)

,

откуда

.

На основании (8)

.

Таким образом,

.

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению= напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источник= ов ЭДС с (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

.

(12)

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов люб= ую ветвь с известным током можно заменить источником тока .

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страх= ов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. = Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. ш= к., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и зада= чи

Для каких цепей приме= ним принцип суперпозиции?

В каких случаях эффективно применение метода наложения?

Как определяются вход= ные и взаимные проводимости ветвей?

Докажите теорему взаимности.

Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?

Можно ли распространи= ть принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?

Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.

Ответ: , где ; .

В цепи на рис. 2 . Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.

Ответ: ; .

Лекция N 13

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном дв= ухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно прос= то определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой в= етви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальн= ой схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.

Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равн= ым входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.

Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.

Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставша= яся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. 1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще = один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь искать= ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, од= на из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником= ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д= , в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником = П. Таким образом, теорема доказана.

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.

Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформироват= ь в схему на       рис. 2,б.

Отсюда ток находится, как:

,

(1)

где - напряжение на разомкнутых зажимах a-b.

Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.

В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощ= ью амперметра, который показывает ток (см. рис. 2,б). Тогда на основании результатов измерений .

В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения и .

При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их ра= счет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная заме= на осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренни= х) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согл= асно схеме на рис. 3,б

.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в предела= х . Параметры цепи Е=3D100 В; R1=3DR4=3D40 Ом; R2=3DR3=3D60 Ом.

В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активн= ого двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:

.

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии= с (1) можно записать

.

(2)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получа= ем кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощнос= ть, и чему она будет равна.

Параметры цепи: ; .

В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром= на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами

В соответствии с (1) для тока через можно записать

откуда для модуля этого тока имеем

.          &nbs= p; (3)

Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно,= и мощность будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка имеет емкостный характер.

Таким образом,

и   .

Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянн= ого тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяет= ся в режиме согласованной нагрузки, условие которого .

Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: .

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из вет= вей этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А.= При этом, полагаем что проводимости и известны.

Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно рав= ны и (рис. 9,б). На основании принципа компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник = А заменен на пассивный П.

Для этой цепи можно записать

откуда

и .

Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.

Литература

Основы теории = цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и зада= чи

В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора?

Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора?

Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем?

Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его входного сопротивления?

В каких задачах используется теорема вариаций?

В цепи на рис. 4 исто= чник ЭДС Е замене на источник тока J=3D10 А. Определить показание амперметр= а, если R=3D0.

Ответ: .

Для полученного значе= ния в цепи на рис. 8 методом эквивалентного генератора определить ток в ветви с этим сопротивлением, если катушка индуктивнос= ти в структуре активного двухполюсника заменена на конденсатор с сопротивле= нием .

Ответ: .



Определить:=	1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2=

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Введение

Элементы электрических цепей

Топология электрической цепи

Представление синусоидальных величин <= br> с помощью векторов и комплексных чисел

Элементы цепи синусоидального тока. Векторные диаграммы и комплексные соотношения для них

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока

Резонансы в цепях синусоидального тока

Векторные и топографические диаграммы

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Метод эквивалентного генератора

Элементы цепи синусоидального тока. Векторные
диаграммы и комплексные соотношения для них

Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная,
активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока

Особенности составления матричных уравнений при наличии
индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками